Bien pues al final he dado con la solución.
Ha sido gracias a la respuesta en otra pregunta de GatoV, que le dijo a un chico que utilizara Prototype para su formulario. No sé si la manera de resolverlo es la más correcta, en cuanto eficiencia porque ni si quiera sabía que existía pero sirve para continuar.
Al final lo único que he cambiado ha sido :
página.jsp
Código HTML:
<form name="expedientes" id="expedientes" onSubmit="return validate()">
funciones.js
Código HTML:
conexion1=crearXMLHttpRequest();
function mostrarContador()
{
conexion1=crearXMLHttpRequest();
conexion1.open('POST','ContadorExpedienteAction?'+Form.serialize($("expedientes")),true);
conexion1.onreadystatechange = obtenerContador;
conexion1.send(null);
}
EL código del servidor es el mismo, obtiene los parámentros con request.getParameter("parametrox");