Creo que te has respondido tu mismo
Como recomendación, te diría que para la gestión de conexiones, bases de datos y demás llamadas, utilizases una clase, la cual podría tener una función "connect" que hiciera dicha comprobación, pero como bien se indica en la documentación, realmente no es necesaria y sería una cuestión de estética.
Por supuesto, toda conexión no cerrada activamente se desconecta al finalizar el script. Sólo es necesaria la desconexión si realizas distintas conexiones en la misma ejecución, por liberar recursos, pero como una aplicación web suele trabajar siempre con una única base de datos, no suele hacer falta.