imagino que quieres orientarte mas al tema de programación web y no tanto al diseño web, que son cosas distintas.
aunque no es la única forma de lograrlo... lo ideal podría ser combinar ambas opciones, esto es... que tengas la formacion de la universidad en una carrera de sistemas y a la vez llevar una carrera tecnica como programador web, con esta ultima podrías desde el primer día llevar cursos exclusivos orientados a web y en poco tiempo conocer las principales herramientas, programas y/o lenguajes, esto complementado con otras herramientas que te dará la universidad y claro lo mas importante... con mucha pero mucha practica podrás llegar a lo que quieres... realizar cualquier web por compleja que sea.
recuerda que puedes aprender un lenguaje en meses, pero dominarlo puede llevarte años...