Hola q tal.
Primero debemos de saber donde está esa cookie, en la misma pagina que el flash? Si es asi, lo que puedes hacer es colocar como un parametro en la url del flash... por ejemplo:
<PARAM NAME=movie VALUE="pagina.swf?cookie=<%= request.cookies("usuario")%>
">
De esta manera le pasas al flash el parametro cookie. Y alli lo podrás leer tan solo llamando a la variable cookie, que estará en el _root.
Saludos