¿Cómo bajo a mi disco duro o como la cambio de servidor a una base de datos en MySQL?

[Virgil]

Si tu servidor actual tiene algún administrador de BD, como PhpMyAdmin (el mejor, a mi juicio), basta hacer un dumping como archivo de toda la base de datos, la cual te enviará como descarga. Una vez con ese dump (archivo *.sql), bastará con subirlo al nuevo servidor a través del admin de BD, o de mySQL directamente (si tienes acceso).