$result = SELECT * FROM user WHERE user_name AND user_id={$user['user_id']}" );
$user = mysql_fetch_array( $result );
con eso el nombre de usuario tendria que ser igual a la id cosa que no creo que se correcta. Primero supongo que también recibes el user_name, yo lo pondria así:
$user_name = $_POST['user_name'];
$result = SELECT * FROM user WHERE user_name=$user_name AND user_id={$user['user_id']}" );
$user = mysql_fetch_array( $result );
Y para imprimir en pantalla, si recibes los datos por post podrías directamente imprimir la variable user_name:
echo "Hola ".$_POST['user_name'];
el mysql_fetch_array() obtendrá tus datos que también los puedes tirar por pantalla:
echo "Hola ".$user[1];
si no me equivoco
saludos, ojala te sirva