Hola,
 
Comenta esto porque me da que has quitado tu btenviar, pero todavia tienes esto puesto y no puedes tener dos handles para el mismo control  
Código:
 Protected Sub btEnviar_Click(ByVal sender As Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click 'Handles 1 para button1
Calcular_NIF(resto, letra_NIF)
End Sub
  Para que veas a lo que me refiero con tener don handles para el mismo control:
(Esto dejalo como esta) 
Código:
 Protected Sub Button1_Click(ByVal sender As Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click 'Handles 2 para button1
tbdni.Text = Calcular_NIF(resto, letra_NIF)
End Sub
  Saludos