Janire;
El inconveniente con tu codigo es el formato de la fecha que le estas pasando al insert, mysql acepta el formato siguiente Y/m/d H:i:s (2008/04/28 03:59:05), solo cambia el formato de tu fecha para que quede de la siguiente manera:
Código:
$date = date("Y/m/d H:i:s");
Nota importante, te sugiero que el campo fecha de la tabla en cuestión lo cambies a tipo Datetime, de lo contrario, cuando necesites realizar operaciones con fechas tendrás que escribir codigo de más en php.
Saludos