Esto depende del trato que hagas con el cliente, si vas a seguir actualizando la página o se la entregas al cliente y él se hace cargo de la gestión.
Normalmente el dominio debe de estar a nombre del cliente pero eso no quiere decir que tú no lo puedas gestionar si tienes las claves del dominio.
En mi opinión lo mejor es que te encargues tú de la gestión, cobrando claro.
En cuanto a comprar el dominio y alojamiento puedes hacerlo como mejor te convenga, puedes comprarlo junto o separado.
Aprovecho para decirte que nosotros te regalamos el dominio si contratas el alojamiento por un año.
Saludos
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