En el botón de tu formulario, creas un tag <form>, en el action del <form> lo pones a un script PHP donde pones ese código, algo así:
Código HTML:
<form action="archivo.php">
<input type="submit" name="enviar" value="Enviar Mail" />
</form> Luego en tu archivo:
Código PHP:
<?php
$mail = $smtp->send($to, $headers, $body);
?>
Saludos.