Decidí responderte por que todas las respuestas previas están incorrectas en mi punto de vista. Bueno aquí te dejo tu código Correctamente debugeado. Bueno no hablo mas y aquí te dejo el código correctamente funcionando , Lo que no entendí es por que muestras el resultado en un input ? Por que no simplemente texto plano y asi eliminas 0.24 kb de código perezoso en tu script. Pero bueno no se como trabajes tup. Saludos suerte y exitos.!!!
Código PHP:
<html>
<body>
<?php
include("conexion.php");
$link = Conectarse();
$SQL = "SELECT * FROM alumnos
WHERE nombre LIKE '%".$_POST["nombre"]."%'";
$result = mysql_query($SQL);
?>
<TABLE BORDER=0 CELLSPACING=1 CELLPADDING=1 style="border:1px solid #999999;">
<TR>
<TD> nombre</TD>
<TD> ap_paterno </TD>
<TD> ap_materno </TD>
<TD> direccion </TD>
<TD> telefono </TD>
<TD> f_nacimiento </TD>
</TR>
<TR>
<TD>
<input name="nombre" type="text" id="nombre" value="".$row['nombre']."">
</TD>
<TD><input type="text" name="ap_paterno" id="ap_paterno"></TD>
<TD><input type="text" name="ap_materno" id="ap_materno"></TD>
<TD><input type="text" name="direccion" id="direccion"></TD>
<TD><input type="text" name="telefono" id="telefono"></TD>
<TD><input type="text" name="f_nacimiento" id="f_nacimiento"></TD>
</TR>
<form name="form1" method="post" action="modificar.php">
<?php
while($row = mysql_fetch_array($result))
{
echo '<TR>
<TD>
<input type="text" name="nombre" id="nombre" value="'.$row['nombre'].'">
</TD>
<TD><input type="text" name="ap_paterno" id="ap_paterno" value="'.$row['ap_paterno'].'></TD>
<TD><input type="text" name="ap_materno" id="ap_materno" value="'.$row['ap_materno'].'></TD>
<TD><input type="text" name="direccion" id="direccion" value="'.$row['direccion'].'></TD>
<TD><input type="text" name="telefono" id="telefono" value="'.$row['telefono'].'></TD>
<TD><input type="text" name="f_nacimiento" id="f_nacimiento" value="'.$row['f_nacimiento'].'></TD>
</TR>';
}
mysql_free_result($result);
?>
</form>
</TABLE>
</body>
</html>