Como dice DragonX a los iconos que acompañan las direcciones web se les llama
favicon. Puedes hacer que tu dominio tenga el favicon que tu quieras con unos sencillos pasos.
El favicon rojo con circulitos al que te refieres , creo que es el favicon que usan por defecto las paginas alojadas en sitios web con plesk.
Plesk es un tipo de panel de control para hosting , es uno de los mas usados en ambito comercial.