Hola,
prueba de sacarte por pantalla la sentencia SQL con un simple echo
Código PHP:
$fecha = date("W");
$sql = "SELECT * FROM `noticias` WHERE WEEK(`fecha`) = $fecha";
echo $sql;
y luego para saber si tienes un error de SQL y poder detectarlo añade el mysql_error
Código PHP:
$result = mysql_query($sql) or die("Error SQL: ".mysql_error());
a ver si asi aislas el problema!!!
Saludos