Lo que han hecho aquí es, simplemente, quitar el enlace a la función de búsqueda de la plantilla "navbar". Pero el motor de búsqueda interno de vBulletin sigue funcionando, es cuestión de llamarlo directamente.
Respecto a tu pregunta sobre cómo colocar ese cuado de búsqueda de Google, no me parece muy complicado. Primero deberías obtener el código del mismo (supongo que deberás registrarte con ese servicio de Google, para tal fin) y luego pegarlo en la plantilla "header" del vBulletin.
No hay mejor lugar para realizar éste tipo de preguntas que el foro oficial de vBulletin
