Tu problema es que ya estas procesando tu array de una forma incorrecta, prueba asi:
Código PHP:
if ((isset($_POST["MM_update"])) && ($_POST["MM_update"] == "tramitar")) {
$updateSQL = sprintf("UPDATE documentos SET indicacion=%s, fecha_cumplimiento=%s, fecha_tramitacion=%s, responsable='%s', tramitado=%s WHERE documento_ID=%s",
GetSQLValueString($_POST['indicacion'], "text"),
GetSQLValueString($_POST['fecha_cumplimiento'], "date"),
GetSQLValueString($_POST['fecha_tramitacion'], "date"),
implode( ",", $_POST['responsable'] ),
GetSQLValueString($_POST['tramitado'], "int"),
GetSQLValueString($_POST['documento_ID'], "int"));
mysql_select_db($database_regent_cnx, $regent_cnx);
$Result1 = mysql_query($updateSQL, $regent_cnx) or die(mysql_error());
}
Como nota adicional, tenias mal tu sentencia UPDATE, y el codigo de arriba era irrelevante.
Saludos.