Entonces lo que debes de hacer primero es imprimir los responsables:
Código PHP:
<?php do { ?>
<input type="checkbox" name="responsable[]" value="<?php echo $row_mostrar_funcionarios['nombre']; ?>" />
<?php echo $row_mostrar_funcionarios['nombre']; ?><br /
<?php } while ($row_mostrar_funcionarios = mysql_fetch_assoc($mostrar_funcionarios)); ?>
Luego posteriormente en tu script lo rescatas asi:
Código PHP:
$responsables = $_POST['responsable'];
// luego para almacenarlo en un campo de texto haces esto:
$responsables = implode( ",", $responsables );
Ya posteriormente almacenas con tu UPDATE o INSERT en tu base de datos, posteriormente lo que tienes que hacer a la hora de imprimir es hacer echo $row['responsables'], asi te imprime una lista separada por , con los responsables.
Saludos.