Pues solo lo recibes y haces el UPDATE.
Código PHP:
if( strtolower( $_SERVER['REQUEST_METHOD'] ) == "post" ) {
$nombre = addslashes($_POST['txt_nombresBD']);
$id = $_POST['id'];
$query = "UPDATE `tabla` SET `NOMBRES`='$nombre' WHERE `id`=$id";
// haces el query y compruebas
if( mysql_affected_rows() > 0 ) {
echo "Bien";
} else {
echo "Mal, error: " . mysql_error();
}
}
Saludos.