Lo ideal es justamente, hacer un dump y bajar la info como ha dicho TMeister. Por FTP dudo que puedas ver la base de datos :p, ve descartándolo.
Cita:
Iniciado por TMeister 
copiar y pegar ficheros de DB. jeje muy bueno..
Poniendonos serios.
Las bases de datos MySQL no son mas que archivos, .frm, .myd y myi, ahora que los puedas copiar asi como asi, no creo que se pueda (realmente nunca lo he intentado) , y mucho menos si no tiene acceso root al servidor, el cual nunca de los nuncas te daran en un servicio compartido.
No es lo más indicado, pero poder se puede
, yo lo he hecho en ocasiones y se puede restaurar perfectamente una BD de esa forma, por supuesto, aveces pueden haber incompatibilidades y demás, por lo que lo sugerido antes de intentar esto es el dump desde phpmyadmin o shell.
Saludos,