¿Cómo se hace un backup de todo lo que hay en mi web de un hosting a otro?

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Ten en cuenta como indica Apolo, el panel de control, en cPanel por ejemplo hay una opcion de transferencia de cuentas que transfiere toda la configuracion, no solo los archivos, sino tambien casillas de correo, subdominios, bases de datos, etc, TODO.

Hay dos opciones una de transferencia directa (hay que saber el root de ambos servers) y otra que es generar en el servidor A desde cPanel un FULL BACKUP, configurarlo para que lo transfiera por FTP al servidor B y alli le solicitas al admin que reestablezca ese backup en el nuevo server :)

Estimo que todos los paneles actualmente deben incluir soluciones para este problema.