¿Cómo se hace un backup de todo lo que hay en mi web de un hosting a otro?

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Lo que apolo dice es cierto. esto se llama Fx transfer. Creo que la mayoria de los servidores tienen bloqueado esta opcion por seguridad.

Lo mas recomendable es que hagas el backup, lo bajes y despues lo importes en tu nuevo proveedor. Al fin es mejor asi no? asi tienes una copia de tu pagina web en tu computador.