Ya he conseguido resolver el problema, de una forma bastante absurda. Simplemente, en vez de encerrar sólo los elementos del formulario dentro del <form></form>, lo que he hecho ha sido encerrar
toda la tabla dentro del formulario, es decir, el código ha quedado algo así:
<form method="post" name="formlogin">
<table id="login" align="center">
// Código del login escrito en la entrada anterior...
</table>
</form>
</body>
</html>
Lo que sigo sin saber es la razón por la que ocurre esto en Firefox y no en IE, de modo que si alguien la sabe le agradecería que la posteara aquí. En cualquier caso, dejo la forma como lo he solucionado por si a alguien le pudiera ser de utilidad.
Un saludo.