Copiar Datos de una BD a otra BD

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Como dices, un SP o trigger podría hacer el trabajo. Para eso tienes que crear un Linked Server para ligar un servidor con otro. El como lo haces lo puedes encontrar multitud de veces aquí en los foros. Terminarías ejecutando algo como:

SELECT * FROM servidor.basedatos.dbo.tabla
INTO dbo.tabla

Por otro lado, puedes levantar un servicio de Replicación, para de manera sencilla tener la información en los dos lugares a la vez.