buenas tardes,
Yo también estoy empezando a utilizar ajax pero a lo mejor te puedo ayudar en algo.
A mi entender si vas a utilizar ajax es para hacer lo que dices, pulsar un botón, realizar una operación y después que te envíe los resultados a la página pero SIN RECARGARLA.
Si quieres para empezar te puedes mirar este tutorial donde está explicado como empezar (y también mas bien explicado que si lo hiciera yo jeje)
Un salud
