Prueba con algo así, pone la condición de que si el mes solo tiene un digito te de vuelve MES encadenado a un 0 delante, sino te devuelve los dos dígitos del mes.
Código:
SELECT
IF(
LENGTH(MOUNTH(fecha)) > 1,
MOUNTH(fecha),
CONCAT(0,MOUNTH(fecha))
)
as Mes
FROM tabla
Espero que te sirva, un saludo