Un PC siempre que tenga una buena ventilación puede estar estar encendido el tiempo que sea, yo tengo un ordenador IBM NETVISTA, que lo uso como servidor, este ordenador lo compre de segunda mano y desde que lo compre hace un año, no lo he apagado nunca (Sin contar los cortes de luz) y no le ha pasado nada. Si te fijas en la foto verás que es un ordenador que apenas tiene una buena refijeracion.
Características:
Intel PIII 800
512 Ram
HD: 40GB
Foto: (Todo el ordenador es la pantalla)
Por otra parte lo que necesitas para que se vea el servidor desde el exterior, es abrir el puerto 80 tanto en el Firewall (Si lo tienes) como en el Router, en los router normalmente hay una opcion que se llama NAT, dentro de esa opción normalmente hay que indicar el Puerto a abrir, la IP privada del ordenador y en algunos casos indicar si es UDP o TCP, por lo que deberia de quedarte algo asi:
Ejemplo:
IP privada "servidor": 192.168.0.255
Puerto: 80
Indicar en el NAT que abra el puerto 80 TCP hacia la dirección 192.168.0.255
De esa manera teoricamente cualquiera desde internet que ponga tu IP pública, podrá ver las webs que tengas en el servidor.
Espero que te sirva la respuesta y logres montar el servidor.
PD.: La IP del ejemplo puede no parecerse a la que he puesto, pero si el formato
xxx.xxx.xxx.xxx.
PD2.: Los pasos valen para cualquier tipo de servidor WEB, ya sea Apache, IIS, etc...