Por lo que leo, tenes varias confusiones.
No sabes como está configurado el router (como DHCP o direcciones fijas).
Esa pc con win98 tiene 3 protocolos por las siguientes razones. 1) Tarjeta 3Com, 2) Tarjeta Ethernet y una Dial-Up (Teléfono).
Leyendo eso, quiere decir que ese win98 estaba entrando a internet por acceso telefónico a redes, o sea, NO lo necesitas ahora y deberías desinstalarlo. Fijate en este enlace para que sepas como se hace
Acceso telefónico desde Windows 98. Solo realiza el primer paso de desmarcar la opción de comunicaciones o ingresando en la parte de detalles y quita la parte que dice Acceso Telefónico a redes. Con eso quitas el protocolo de Acceso telefónico a redes.
Ahora, el otro problema es que están reconocidas 2 tarjetas de red, la 3Com y la Ethernet (me suena a tarjeta de red genérica). Debes dejar solamente UNA, la que está funcionando y la otra eliminarla.
El problema puede ser que SI se conecta y obtiene internet pero el 98 NO sabe por donde enviar la señal y creo que lo está haciendo por el Acceso telfónico a redes.
Realizando esto, realiza nuevamente las pruebas y si no te resulta, por lo menos ya podes exponer lo que si has hecho.