Bueno me respondo a mi mismo, por si a alguien le surge el mismo problema.
He utilizado una API que viene con Qt:
#include <QtSql>
QSqlDatabase db = QSqlDatabase::addDatabase("QODBC");
db.setDatabaseName("DRIVER={Microsoft Access Driver (*.mdb)};FIL={MS Access};DBQ=../database/database.mdb");
if (!db.open()) {
QMessageBox::about(this, tr("¡Error!"), tr("<b>No se ha encontrado la base de datos!!</b><br><br><b>Verifique que \"database.mdb\" se encuentra en el directorio database</b>"));
}
Como se puede observar se utiliza el driver de acceso a bases de datos ODBC de Microsoft.
Una vez abierta la base de datos solo hay que utilizar un objeto de tipo QSqlQuery para enviar las peticiones en SQL a la base de datos.