Las "extensiones" Mysql y Mysqli te permiten conectarte a tu BBDD Mysql desde PHP. (Las "Sql_lite()" .. es para el tipo de BBDD SQL Lite).
Las funciones mysql_xxx() (
www.php.net/mysql) se usan para acceder a Mysql versiones 4.0 e inferiores desde PHP versiones 4.x o 5.x e inferiores.
Las funciones mysqli_xxx() las puedes usar sólo en PHP versión 5.x en adelante y se usan para conectarte a Mysql 4.1 en adelante (hasta 5.x). Estas nuevas "funciones" (extensiones) usa en "cliente para Mysql" que aprovecha todas las nuevas funcionalidades de Mysql 4.1.x o superior. Se dice que el rendimiento en ejecución de estas es superior a las mysql_xxx() pero tienes el "problema" de la incompatibilidad o de que tu servicio de hosting de turno la disponga: PHP 5.x o superior Mysql 4.1.x o superior y la extensión Mysqli (
www.php.net/mysqli)
Un saludo,