No sé si conocees que ese "Update" es una sentencia SQL y que debes ejecutarla con la función de Mysql de PHP para tal fin .. (si eso no lo tienes claro, por favor pregunta .. no se trata de que te indiquen como hacerlo sino que entiendas que estás haciendo).
Sería:
Código PHP:
$_SESSION['usuario_fecha']=$usuario_datos['fecha'];
// el "Update" que colocas es una sentencia SQL!!!!
$sql="update $sql_tabla set contador = contador+1 where ID='".$usuario_datos['ID']."'";
// Se te olvidó "ejecutar" la consulta SQL !!!!
mysql_query($sql) or die (mysql_error());
$pag=$_SERVER['PHP_SELF'];
Si estás intentando actualizar unos datos cuando el usuario hace "login" .. ese proceso lo hace cuando creas esas variables de sesión .. así que corresponde hacerlo ahí y no antes (por qué en ese momento no sabes si tu usuario es válido o no).
Un saludo,