Bien el_javi: Te has tomado un tiempo viendo el código y luego respondiendo
La verdad es que un error muy común en temas sobre formularios es obviar los botones submit... y a mi se me ha pasado desde el primer mensaje la carencia de esos botones... (tal vez el poner name="submit" me confundió)
Y poner un atributo name a los botones hace que se envíe una variable que tal vez sea no deseada...
Tal vez haya que preparar un "monográfico sobre formularios"
Saludos