Hola:
Usando tu ejemplo:
var fecha = "10/07/2006"
Podemos crear una función...
function dia(fecha) {
var dia = ["Domingo", "Lunes", "Martes", "Miércoles", "Jueves", "Viernes", "Sabado"];
datos = fecha.split("/"); // convertimis la cadena en un array
f = new Date(); // creamos un objeto Date()
f.setFullYear(datos[2]; // asignamos nuevo año
f.setMonth(datos[1]); // asignamos nuevo mes
f.setDate(datos[0]); // asignamos nuevo día
return dia[f.getDay()]
}
Lo puse "a capella" así que puede yener errores, pero pruébalo y nos cuentas.
Saludos