Serás dueño del dominio durante el tiempo que pagues por él (no te olvides de renovarlo). A no ser que por ejemplo registrases nba.com para hacer un sitio sobre la liga de baloncesto americana, entonces si que te lo podrían quitar (igual pasaría con el nombre de una persona famosa). Pero vamos, lo normal es que no tengas problemas. Si es un nombre genérico, tu nombre, o el de tu empresa nadie va a quitártelo.
La empresa con la que registres el dominio te dará una contraseña para entrar a un panel de control en un entorno seguro para que puedas administrar el dominio. Recuerda comprobar que en tu panel de control el dominio aparezca como "Locked", para evitar que pueda ser transferido a otra empresa por otra persona (suele estar por defecto cuando registras un dominio, pero mejor estar seguro). Ten cuidado con la contraseña que te de la empresa registradora, y no te olvides de renovar el dominio cuando toque.
ICANN tiene el control de los dominios, se podría decir que ellos son los dueños de los dominios. Luego por ejemplo ICANN tiene un contrato con Verisign para que este gestione todo lo necesario para que los .com y .net puedan ser registrados, a través de empresas registradoras (como por ejemplo GoDaddy), por parte de ti y de mí.
Para los casos de disputas sobre un nombre de dominio, ICANN sería el encargado de resolver esas disputas .aero, .biz, .cat, .com, .coop, .info, .jobs, .mobi, .museum, .name, .net, .org, .pro y .travel. Para un .es sería
Esnic, ...
GoDaddy es una buena empresa. También son buenas otras como
Enom,
Moniker...
Ten cuidado con las empresas que te ofrecen el dominio gratis si les contratas alojamiento, o las que ofrecen de un .com/.net/.org por menos de 7-8 dólares. Y mejor registra el dominio con una empresa y el alojamiento con otra diferente.