Como te dijo Tolaware, con el método parse no estas formateando la fecha si no leyéndola, así que debes poner el formato en el que el usuario te escribe la fecha en el campo de texto.
Si te da "Unparseable date" es por que la fecha esta mal escrita. Por ejemplo en el error que muestras tu le sobran espacios alrededor de las barras. Eso es un caso que hay que tratar por que siempre que hay introduccion de fechas a mano, existe la posibilidad de que la escriban mal. 34/13/2006, por ejemplo.
Despues cuando tengas un objeto Date, lo insertas en la BDD y ya lo guardara la BDD como le de la gana. Al recuperarlo obtendras un Date y puedes usar SimpleDateFormat para darle el formato que tu quieras y mostrárselo al usuario.
Tambien esta la posibilidad de usar un objeto tipo calendario para no tener que comprobar si la fecha es valida o no, ya que estos objetos solo te dejan introducir fechas válidas.
Por ejemplo:
http://www.toedter.com/en/jcalendar/