Bien, todo depende de la ayuda que te va a brindar tu nuevo proveedor.
Si ellos están de acuerdo, y tú también, podrías entregarles las claves de acceso a las cuentas con tu antiguo proveedor y quizás ellos podrían hacerse cargo de las copias, de transferirlas al nuevo servidor y de reestablecerlas allí.
O tú podrías hacer las copias de cada cuenta, les das el URL y ellos podrían traerlas al nuevo servidor directamente. Si no, puedes bajarlas localmente y subirlas al nuevo servidor, aunque esto es un paso extra, que se podría evitar.
O puedes hacerlo todo manualmente, bajando cada uno de los sitios con sus respectivas bases de datos y subiéndolos al nuevo servidor de la misma manera.
Como te dije, todo depende de la ayuda que te han ofrecido, o que podrían ofrecerte.
Saludos.