Hola
Lord of freaks
La función prompt() es como es y no se puede cambiar (que yo sepa) el tipo del cuadro de texto.
Lo que se me ocurre que puedes hacer es crear una página con un formulario a tu gusto y abrirla con window.open() o también poner poner el formulario dentro de una capa invisible y hacerla visible cuando sea necesario.
Saludos,
