Solucionado!!
Para que este hilo quede completo comento que la solución la encontré en
Solución a problemas de headers:
Simplemente incluyendo estas otras cabeceras
Código PHP:
Header("Accept-Ranges: bytes");
Header("Expires: 0");
Header("Cache-Control: private");
Con lo que me ha quedado:
Código PHP:
// $nombre es el nombre, con extensión, con el que se guarda al descargar.
$enlace = "../ficheros/".$fichero;
header ("Content-Disposition: attachment; filename=".$nombre."\n\n");
header ("Content-Type: application/octet-stream");
header ("Content-Length: ".filesize($enlace));
header("Accept-Ranges: bytes");
header("Expires: 0");
header("Cache-Control: private");
readfile($enlace);
exit;
Eso es todo.