El primer paso es hacer un backup de tu base de datos y de los archivos. Los archivos los sacas con el FTP, y la base de datos te recomiendo que lo hagas con phpmyadmin en formato comprimido (gzip) para que ocupe menos.
En el nuevo servidor, que probablemente tendrás phpmyadmin, creas una nueva base de datos, e importas el archivo gzip, con lo cual te recuperará todo el contenido. Editas la tabla phpbb_config, y cambias los valores del servidor y el script_path, para poner los nuevos, si es que cambian.
Subes los archivos al nuevo FTP, editas el config.php y pones los nuevos datos de la base de datos.
Y salvo que haya problemas, que es lo normal
ya está todo.
Un problema que te puedes encontrar es que la base de datos sea muy grande, en ese caso hay que seleccionar ciertas opciones al exportarlo con phpmyadmin, pq si no luego no vas a poder importarla.
Otro problema es que usen MySQL 4.1 o superior, los acentos y las ñ salen mal, pero eso tiene otra solución más engorrosa (ir copiando y pegando las consultas SQL al phpmyadmin, con lo cual como tengas una base de datos grande, te vas a eternizar
).
Suerte :saludo: