2) ... no se entiende lo que dices... tu código está mal escrito... ¿'SI' de dónde??...
a) Si ocupaste lo que te puse.. te imprime 1 porque ese es el value del elemento "chekeo"... repito: Los recojes por su "name", obtienes su "value" (quizá no lo dije aquí pero lo he repetido en demaaaaasiadas consultas

).
b) ...

... Veamos, tienes un formualario "original" y emvias los datos a un formulario que te redireccionará.. ese último se enviá SOLO con JavaScript, entonces en él no dispones de un botón... Tu condicional que muestras
if (isset ($_POST['nombre boton']) or isset($_POST['chequear'])) (correjida) trata de valuar dos elementos que no están juntos ¿¿¿???... el elemento "chekear" lo recojerás en el formulario original ye el elemento "nombre_boton" en el formulario que te devuelve valores... Lo dicho no se te entiende.