si $id_cat vendrá de un formulario.. antes tendrás que recogerlo por las variables globales $_POST ó $_GET dependiendo de el method de tu formulario, además procura ponerlo entre comillas simples:
Código PHP:
$id_cat= $_POST['id_cat'];
$sql = "SELECT * FROM inventory WHERE category='".$id_cat."' AND activo='1'";
Igual eliminé espacios... venga o no de un formulario ve que tu variable tenga el valor correcto antes de hacer tu consulta... puedes imprimirlo para comprobarlo.
Suerte!
