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... sencillo!, si haces la diferencia entre dos fechas pasadas por mktime obtendrás la diferencia en segundos entre ambas ¿cierto?... pues simplemente divide esa diferencia entre 86400 que son los segundos que tiene un día.. y listo!... Para seguir trabajando con lo que tienes:
Código PHP:
<?php
$dias= ((mktime(0,0,0,date("m"), date("d")+15, date("Y")))-(mktime(0,0,0, date("m"), date("d"), date("Y"))))/86400;
echo $dias;
?>
Saludos!